家族は一緒にUK ETAを申請できますか？

いいえ。家族旅行であっても、UK ETAは家族全員分を1つの申請として提出する方式ではありません。
両親や子どもを含む家族全員が、それぞれ自分のUK ETAを別々に申請する必要があります。

家族の1人が別の家族に代わって申請することはできますが、申請書は旅行者ごとに作成する必要があります。
英国旅行を準備している場合は、出発前に家族全員がUK ETAを申請していることを確認してください。